円周上にN点を取り、任意の２点間の距離が整数の場合とは(2)

まだ３点が円周上にある場合しか求まっていなかった。
まず、３点から４点に１点だけ増やすことを考えよう。

右図のように、ｙ軸を中心に反転した3:4:5の三角形を考えてみよう。
つまり、（-7, 24）を追加してみよう。

この点から既存の３点への距離は、30、40と14になる。
30、40の２つの距離は、図形がｙ軸で反転しただけであるので、以前から存在する距離でしかない。
新しく発生したのは、(-7,24)と(7,24)の距離であるが、ｙ座標値は同じで14であることがすぐに分かる。

これで4点の場合が済んだ。
5点と6点の場合を考えよう。
3点から4点にしたとき、y軸に対称な位置に点を取った。

今度は、x軸に対象な位置に点をとってみよう。
すると、6点の場合が右図のようになる。

中央に幅１４、高さ48の長方形が見えている。
この4頂点は円周上の点であり、対角線は円の直径になっているので、計算するまでもなく50である。

上下反転した位置にコピーすると頂点は2点増えた。
任意の2点間の距離で、新たな距離は上下の２頂点を結ぶものだけなので、４８が増えただけである。

したがって、６頂点の場合は、右図に記入されている６つの座標値が求めるものである。

さあ、もっと頂点を増やしていこう。


ここまでわかってしまえば、後はプログラムを書いて実行するのみなので、解説はこれで終える。

６点、１０点、１４点、１８点、２２点、、、、、、
の場合という感じで求めてみた。

(25,0) (-25,0)
(7,24) (-7,24) (-7,-24) (7,-24)

(625,0) (-625,0)
(175,600) (-175,600) (-175,-600) (175,-600)
(527,336) (-527,336) (-527,-336) (527,-336)

(4225,0) (-4225,0)
(1183,4056) (-1183,4056) (-1183,-4056) (1183,-4056)
(3713,2016) (-3713,2016) (-3713,-2016) (3713,-2016)
(2047,3696) (-2047,3696) (-2047,-3696) (2047,-3696)

(7225,0) (-7225,0)
(2023,6936) (-2023,6936) (-2023,-6936) (2023,-6936)
(6887,2184) (-6887,2184) (-6887,-2184) (6887,-2184)
(4025,6000) (-4025,6000) (-4025,-6000) (4025,-6000)
(4633,5544) (-4633,5544) (-4633,-5544) (4633,-5544)