円周上にN点を取り、任意の２点間の距離が整数の場合とは(3)

今まで、２点間の距離は整数としてきたが、２点間の距離を有理数でも良いことにしよう。
全ての２点間の距離が有理数であれば、全ての距離の分母の最小公倍数を掛けてしまえば、全ての２点間の距離を整数にできる。
ということで、「任意の２点間の距離が整数」でも「任意の２点間の距離が有理数」でも同じことである。

そこで、円をどんどん大きくしていくことを中止しよう。
つまり、円の大きさを一度決めたら、固定しても良いのだ。

まず、右図のように、3:4:5 の直角三角形が２つ、長さ３の辺でつながったものを考えてみよう。

すると、辺の長さが ５：５：８ の二等辺三角形ができ、この三角形に外接する円を考える。
また、各頂点を図のように　P1、P2、P3　とする。
つまり、P1ーP2 、P2ーP3 の距離は５である。
今回は、この距離５に注目する。



今までは、２点間の距離が整数にこだわっていたのだが、円の大きさをこのままにして、P3から距離５の頂点をP4とする。


ここで突然だが、「トレミーの定理」を使う。 円周に内接する四角形に関する定理で、辺と対角線の長さに関する等式
 
　　AC・BD ＝ AD・BC ＋ AB・DC

が成り立つ。（トレミーの定理/Wikipedia）

これを使うと、

　8*8 = 5*5 + 5*d4
　d4 = 39 / 5

となり、d4は有理数である。